Dinâmica

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O termo dinâmica é provindo do grego dynamike, significa forte. Em física, a dinâmica é um ramo da mecânica que estuda o movimento de um corpo e as causas desse movimento.
Em experiências diárias podemos observar o movimento de um corpo a partir da interação deste com um (ou mais) corpo(s). Como por exemplo, quando um jogador de tênis dá uma raquetada numa bola, a raquete interage com ela e modifica o seu movimento. Quando soltamos algum objeto a uma certa altura do solo e ele cai, é resultado da interação da terra com este objeto. Esta interação é convenientemente descrita por um conceito chamado força.
Os Princípios de dinâmica foram formulados por Galileu e Newton, porém foi Newton que os enunciou da forma que conhecemos hoje.

Leis de Newton

 Primeira Lei de Newton - Lei da Inércia
Em princípio se pensava que para que um corpo se mantivesse em movimento com velocidade constante era necessário que ele fosse impúlsionado, caso contrário ele pararia “naturalmente”. Isso pode ser observado quando se faz um objeto deslizar sobre uma superfície qualquer ele irá parar. Para fazer com que ele se mova sobre a superfície com uma velocidade constante poderíamos amarrar um cordão nele e puxar. Porém, se colocássemos este objeto em superfícies diferentes, como por exemplo uma superfície de gelo de um rinque de patinação e um chão de concreto, notaríamos que o objeto iria percorrer distâncias diferentes. A distância percorrida na superfície de gelo é muito maior do que a distancia percorrida no chão de concreto. Isto acontece porque a superfície de gelo é mais lisa (atrito menor) do que o chão de concreto (atrito maior). Isto nos leva a pensar que quanto mais lisa for a superfície, ou quanto menor for o atrito, maior será a distancia percorrida. Se imaginarmos uma superfície muito lisa, de modo que o atrito seja quase nulo, a velocidade do objeto não diminuiria
Com isso, acabamos concluindo que não precisamos de força para manter um corpo em movimento com velocidade constante, e que, ao contrário do que se pensava inicialmente, não é da natureza de um corpo parar quando posto em movimento, mas resistir à desaceleração e à aceleração.
Isto nos leva a Primeira Lei de Newton que diz o seguinte: Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela ação de forças impressas sobre ele.

 Segunda Lei de Newton

O princípio fundamental da dinâmica enuncia que a taxa de variação no tempo da quantidade de movimento de um ponto material é igual à soma das forças aplicadas neste ponto. Este princípio é chamado também de Segunda Lei de Newton. F = m x a onde F é a resultante das forças aplicadas no corpo, m a massa do corpo, e a representa a resultante das acelerações do corpo, além disso, F e a são grandezas vetoriais. E a soma da capacidade de força.

 Terceira Lei de Newton

O Princípio da ação e reação afirma que se um determinado ponto material “A” exerce uma força sobre um outro ponto material “B”, então “B” exercerá sobre “A” uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário. O par ação e reação sempre é composto por forças de mesma natureza (ambas de contato, ou elétricas etc.) e que agem em corpos distintos, portanto não tem sentido físico dizer que ação e reação se neutralizam. A este Princípio chamamos de Terceira Lei de Newton (Conhecida também como Lei da Ação e Reação)

Atividade P.A.

Questões:

01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números:

I.   3, 7, 11, ...
II.  2, 6, 18, ...
III. 2, 5, 10, 17, ...

O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:

a) 15, 36 e 24
b) 15, 54 e 24
c) 15, 54 e 26
d) 17, 54 e 26
e) 17, 72 e 26


02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é:

a) 4
b) 7
c) 15
d) 31
e) 42


03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.


04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5.


05. Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.


06. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem.


07. Em uma P. A. são dados a1 = 2, r = 3 e Sn = 57. Calcular an e n.


08. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:

a) 18,88
b) 9,5644
c) 9,5674
d) 18,9
e) 21,3


09. (UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:

a) 5870
b) 12985
c) 2100 . 399
d) 2100 . 379
e) 1050 . 379


10. (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n² - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale:

a) 18
b) 90
c) 8
d) 100
e) 9


Ver respostas em: http://vianna-assuntosemgeral.blogspot.com/2011/03/respostas-atividade-pa.html


Fonte: Cola da Web

Respostas (Atividade P.A.)

Resolução:

01. C

02. D
03. a1 = 57
04. a5 = 15
05. (2; 7; 12; 17; ...)
06. x = 4
07. n = 6 e a6 = 17
08. A
09. E
10. A

Progressão Aritimética

A sequência numérica onde, a partir do 2º termo, a diferença entre um número e seu antecessor resulta em um valor constante é denominada de Progressão Aritmética. O valor constante dessa sequência é chamado de razão da PA. Observe:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, ...
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3
14 – 11 = 3
17 – 14 = 3
20 – 17 = 3
23 – 20 = 3
26 – 23 = 3
29 – 26 = 3
Observe que nessa sequência a razão possui valor igual a 3.
Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer termo ou o número de termos com base no valor da razão e do 1º termo. Para tais cálculos, basta utilizar a seguinte expressão matemática:

an = a1 + (n – 1) * r

Exemplo 1
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.
a18 = 2 + (18 – 1) * 5
a18 = 2 + 17 * 5
a18 = 2 + 85
a18 = 87
O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão matemática  determina a soma dos termos de uma PA.
Exemplo 2
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 primeiros termos.
Cálculo da razão da PA
3 – (–1) = 3 + 1 = 4
7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
15 – 11 = 4
Determinando o 20º termo da PA
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
Soma dos termos

A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740.
Por: Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Progressões - Matemática - Brasil Escola

Função do 2º Grau

Parábola: formas geométricas no cotidiano

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau,
ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ∆(delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.


∆ = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

∆ < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual à zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.

Gráfico da função

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

∆ > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

∆ = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

∆ < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Função de 2º Grau - Funções - Matemática - Brasil Escola

Funções de 1º Grau

Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais.
Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:

f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a  R* e b  R.
Veja alguns exemplos de Função afim.

f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1

f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1

f(x) = x ; a = 1 e b = 0

f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5
            2                     2

Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 pode ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:

x = -2                      x = - 1                     x = 0 y = 2 . (-2) – 3       y = 2 . (-1) – 3       y = 2 . 0 - 3
y = - 4 – 3              y = -2 – 3               y = -3 y = - 7                     y = - 5
x = 1 y = 2 . 1 – 3
y = 2 – 3
y = -1
Os valores de x são o domínio e a imagem e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que Im = R

Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Quando a > 0
Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x           y
- 2        - 5 - 1        - 3
0          - 1 1 / 2       0
 1           1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.




Quando a < 0
Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou
y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x         y
-2        3
-1        2
0         1
1         0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos que quando a < 0 a função é decrescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.


Características de um gráfico de uma função do 1º grau.

• Com a > 0 o gráfico será crescente.

• Com a < 0 o gráfico será decrescente.

• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.

• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.

• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.

• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.

• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Função de 1º Grau - Funcões

Matemática - Brasil Escola

Funções

A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática outras ciências, como a física e a química.
Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:
►Características, tipos e elementos de uma função.
►Função do primeiro grau.
►Função do segundo grau.

Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia-a-dia, por exemplo:

Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação seja representada em uma função na forma algébrica.

Para dar início ao estudo de função é necessário que tenha o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações.

Brasil Escola.